Prolungamento dell’architrave oltre gli appoggi

Come sempre mi piace sottolineare le soluzioni tecniche più avanzate presenti, per caso o più probabilmente per esperienza, nelle strutture antiche.
Questo accorgimento in particolare viene citato, con molti altri, in un articolo di Gennaro Tampone (“l’architettura nella preistoria”).

I risultati ottenibili con questa configurazione sono una riduzione del momento flettente nella mezzeria dell’architrave (punto in cui è massimo) e di conseguenza una riduzione della deformazione della trave, quindi del rischio che questa si spezzi.

L'esempio principale citato nell'articolo è la Portadei Leoni di Micene:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...te_dsc06382.jpg

Molto più chiare sono le rappresentazioni di questo accorgimento nell tombe etrusche. Ne riporto alcuni esempi:
nella tomba dei caronti a Tarquinia http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...deicaronti1.jpg
nella tomba della Fustigazione a Monterozzi
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...ustigazione.jpg
tomba Cardarelli sempre a Monterozzi
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...aCardarelli.jpg
nella tomba della cornice a Cerveteri
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...mbeCorniche.jpg

Interessante. Questo accorgimento è utile con tutti i materiali o più con alcuni che con altri?
Altra domanda che mi sorge spontanea: è sufficiente il prolungamento dell'architrave oltre i supporti o influisce in misura determinante un carico su questi prolungamenti che provochi una flessione in senso contrario? Già da sola direi la seconda, ma chiedo conferma...

Intanto va detto che la valutazione dello stato di sollecitazione è valida per ogni tipo di materiale, mentre la relazione tra la sollecitazione e la deformazione varia con il tipo di materiale secondo quella che è la sua legge costitutiva.
In generale questo accorgimento introduce quindi dei benefici per ogni materiale quantificabili poi in modo diverso.

I benefici sono dovuti al fatto che, riducendo il momento flettente si riduce la trazione e la compressione agenti su ciascuna sezione della trave inflessa (in particolare per i materiali impiegati nell'edilizia storica si hanno buone o ottime resistenze a compressione ma bassissime resistenze a trazione con conseguente rottura), in quanto se infletti un solido la parte di esso dal lato concavo risulta compressa (il solido si accorcia) mentre quella dal lato convesso risulta tirata (e il solido si allunga fino al limite di rottura).
Questo schema facilita la comprensione:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm.../74/Bending.png

Per ottenere il beneficio come hai detto te ci deve essere carico anche sugli sbalzi, altrimenti le condizioni di sollecitazione sono pari pari le stesse, va anche detto che almeno il peso proprio quelle ali dovranno sopportarlo e quindi un effetto positivo ci sarebbe comunque.

Va detto che questa situazione reale si potrebbe schematizzare in due modi diversi, o come trave appoggiata su una campata più due sbalzi, o trave doppiamente incastrata.
Tampone non fa un chiaro riferimento nel suo articolo a quale dei due schemi ha in mente, fermo restando che entrambi riducono il momento flettente massimo. Essendo però inseriti in murature portanti io sono propenso a ritenerli degli incastri, di conseguenza l'allungamento migliora la situazione non tanto perchè il carico inflette gli sbalzi quanto incastrando la trave nel paramento murario. Questo schema ha anche il vantaggio che rispetto a quello con due sbalzi (che nella realtà potrebbe essere questo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...illa_Dolmen.jpg) secondo me non c'è un aumento dello sforzo di taglio nei punti di appoggio.

Se non erro la situazione ottimale la si ottiene quando il 50% della trave sporge ai lati. Nei casi riportati siamo lontani da questa situazione e mi chiedo se non vi siano altri motivi. Per esempio legati alle modalità di installazione o sostituzione dei pilastri oppure ad evitare che la rottura di un pilastro si tramutasse in un crollo completo della struttura.

Il 50% di sbalzo è un caso limite che annulla il momento in mezzeria ma provoca un notvole incremento di esso sugli appoggi, che diventa, se non sbaglio, pari a quello che si avrebbe in mezzeria nel caso di assenza di sbalzi, ma invertito di segno. Questo non so se lo renda del tutto ottimale.
Comunque sia è un discorso che vale per una trave continua a una campata con due sbalzi, come nel caso del dolmen.
Se, come mi pare, più corretto lo schema è quello di incastro la lunghezza non è più funzionale se non a creare l'incastro stesso. In questa seconda ipotesi lo sbalzo è caricato ma il suo carico viene supportato anche dalla parte di cortina muraria su cui appoggia.

A voler essere estremamente precisi la presenza di materiali diversi con moduli elastici diversi a contatto provoca cedimenti diversi, di conseguenza lo sbalzo torna a lavorare come tale (esistono esempi di cedimenti differenziati tra murature e elementi lapidei, ad esempio nei portali romani, se non sbaglio, dovuti proprio a questo fatto).

Riguardo alla tua obbiezione così su due piedi mi viene questo in mente, ma mi prendo un po' di tempo per ragionarci con calma e non spararle grosse .
Mi sembra però interessante riportare l'esempio dei dolmen: sarebbe interessante sapere se l'uso o meno di questo accorgimento sia riconducibile a precise aree geografiche o a cronologie differenziate, anche per capire se già c'era una conoscenza empirica del fenomeno.

Non sono riuscito a trovare l’articolo… pertanto non sono sicuro di rispondere a tono, però che far sporgere l’architrave di una frazione percentualmente piccola della lunghezza possa avere un effetto determinante sulla riduzione del momento flettente in mezzeria mi pare privo di fondamento. Nel caso della porta di Micene, inoltre, l’architrave è a sezione variabile (correttamente più grande in mezzeria) e di certo ha un influenza trascurabile (volendo si potrebbe calcolare).
Lo stesso accade per le immagini delle tombe etrusche.
Per i dolmen il discorso è differente, però, ancora una volta, credo che la disposizione dei puntoni sia dovuta alla necessità di limitare lo sbalzo in modo da evitare che l’architrave collassi a causa del peso proprio.
Un’osservazione sui materiali. Gli architravi possono essere realizzati con materiali di tutti i tipi (da quelli lapidei a quelli metallici, passando per il legno). La corretta progettazione passa attraverso due parametri principali: la resistenza meccanica a flessione (per quanto riguarda la sopravvivenza) e la freccia (la deformazione); è necessario che l’architrave non si spezzi, ma anche che la deformazione non si atroppo accentuata (vero in particolare per i materiali metallici).
PS – potrei avere qualche dritta per reperire l’articolo???

Credo sia questo: http://eprints.bice.rm.cnr.it/1164/
Gibo, correggimi se sbaglio.
Più tardi mi impegno a leggere il testo...

L'articolo è quello postato da Moneta. Comunque dice poco di più sull'argomento specifico.


Ripeto ancora: se ragioniamo sugli effetti portati dallo sbalzo come tale potrebbe essere come dici; se invece consideriamo l'allungamento come necessario per incastrare l'architrave (altrimenti semplicemente appoggiato) il discorso è secondo me diverso.



I miei dubbi riguardo all'esempio sono di altro tipo: per me quell'architrave non sporge oltre gli appoggi in maniera tale da poter essere considerato valido l'incastro, però lo dico per quello che vedo e potrei sbagliarmi. In generale comunque come te credo che gli effetti siano trascurabili. Credo, però, che Tampone (che ha conoscenze e esperienza ben superiori alle mie) l'abbia considerato un esempio valido per dei buoni motivi, io mi sono limitato a citarlo in riferimento all'articolo che, come detto, non offre maggiori spiegazioni.


Su questo non sono d'accordo, sia pensando allo schema di incastro, sia a quello di doppio sbalzo si può pensare ad un effetto benefico. Inoltre la sezione è quasi in ogni immagine costante (tutte tranne la prima).


Limitare lo sbalzo per evitare il collasso è un processo logico. Quello che intendo io è che, frutto di un'esperienza maggiore, è il ricorso a un prolungamento oltre gli appoggi. Vedi la differenza tra questa disposizione e quella postata all'inizio:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3...tonehengeFE.jpg

In questa immagine si può apprezzare anche la luce minima di alcuni di questi dolmen.


Questo è vero ma esistono precise relazioni tra le deformazioni e le sollecitazioni interne della struttura, ridurre l'uno porta a una riduzione dell'altra.
Inoltre la configurazione delle sollecitazioni esterne si valuta nello stesso modo per ogni materiale. Più che di resistenza a flessione nella progettazione io farei riferimento alla trazione e alla compressione indotta nella trave stessa.

Infine, ragionando sullo sbalzo, un allungamento di 1/4 della luce comporta una riduzione pari al 25% del momento massimo che si avrebbe senza prolungamento.
Con un allungamento di 1/5 si ha una riduzione del 16%. Questi valori, ancora una volta ammesso, come mi pare che intendi, che il portale venga schematizzato in questo modo, mi sembrano compatibili con quelli delle rappresentazioni etrusche.

Alcune osservazioni: l'architrave non è incastrato (se con tale termine intendi ciò che si chiama "incastro" nella corrente nomenclatura tecnica. Se lo fosse, si romperebbe più facilmente (soprattutto se lapideo) a causa della reazione vincolare degli incastri (che sarebbero due). Ciò sarebbe particolarmente vero in casi di piccoli movimenti della base dei puntoni (ad esempio scosse telluriche o assestamenti).
Se allunghi di un quarto della luce, il contributo è molto più basso del 25% (forse non hai considerato la lunghezza dei bracci).
La trogettazione a freccia o a rottura è completamente diversa, anceh se la legge di Hooke lega freccia e sollecitazione; a volte una struttura, anche se non si rompe, non è comunque accettabile per le deformazini, In tal caso si limita la deformazione e quindi si lavora molto al di sotto del limite di rottura.
Per le figure nelle tombe, vale quanto detto per il 25% e il 16%.
PS: ho letto l'articolo ceh mi ha lasciato perplesso... forse non parliamo dello stesso testo.

Guarda che secondo me è proprio così. Se sei un progettista che schema utilizzi per la progettazione di un architrave di quel tipo? Se il tratto di ancoraggio alla muratura non è modesto io sarei portato a ritenerlo un doppio incastro.
Inoltre è vero che la reazione è doppia, sia alla traslazione verticale che alla rotazione però occorrerebbe vedere se il contributo sommato è più gravoso rispetto alla maggiore entità del momento flettente in mezzeria.


Scusa la curiosità ma tu come l'hai valutato?


Non capisco: ti stai riferendo a criteri di progettazione attuale per strutture antiche?
Se vuoi fare una cosa del genere devi però specificare che la deformazione massima va verificata su quelle che sono le condizioni di esercizio della struttura e non di collasso, non mi sembrano quindi un criterio possibile per un progettista di 3000 o 4000 anni fa.

Quali sono le tue perplessità sul testo?

Scusa ma ti rispondo a rate, altrimenti mi incasino. Cerco di spiegarmi. Disegna un architrave fatto di quattro quadrati uguali poggiato alle due estremità. Adesso aggiungi un quadrato a destra ed uno a sinistra (uno per parte) che sporgono.
Mi pare chiaro che il quadrato aggiunto pareggia quello immediatamenta adiacente (stesso peso, stessa distanza dal fulcro).
Quello che avanza (non compensato), dista dal fulcro esattamente il doppio, ed il suo momento è doppio. Quindi il quadrato aggiunto compensa un momento assai inferiore al 25%.
Se vuoi il calcolo esatto, moltiplica il momento di cisacun elemento ottenibile dal prodotto della massa per la distanza dal fulcro del centro di massa.


Allora: l'incastro presuppone la soppressione di tutti i gradi di libertà. Quindi, se fosse un incastro, basterebbe il minimo cedimento di uno dei puntoni (ad esempio un abbassamento del terreno) per causare la rottura dell'architrave (a causa del taglio). Credi che tu intenda qualceh altra cosa, ma non riesco a capire cosa.
Per progettare un architrave a rottura, calcolo la sollecitazione unitaria sulla mezzeria (considerando i carichi, incluso naturalmente il peso proprio) poi ricavo la sezione resistente a rottura (in mezzeria) e la maggioro del fattore di sicurezza.
Per progettare un architrave a freccia, calcolo la freccia della sezione unitaria, poi moltiplico per la freccia massima ammessa e per il coefficinete di sicurezza ottenendo la dimensione della sezione resistente (in mezzeria).


No, mi riferisco al fatto che le strutture possono avere diversi criteri progettuali, nel senso che a volte certe strutture devono essere dimensionate in base alla deformazione massima ammessa e non alla rottura (ad esempio le gru).




Non riesco a capire dove tu abbia visto questa storia dell'architrave che sporge...

Ora ho capito l'incomprensione...
Io ho detto che il momento flettente massimo si riduce di un quarto di quello che si avrebbe nel caso di soli appoggi. Io intendo la sollecitazione percepita dalla linea elastica nel punto più sollecitato che è la mezzeria e non dove intendi te, ponendo il fulcro sull'appoggio.
Per altro ho riprovato rapidamente anche valutando come dici tu si ottiene un momento pari a 3/32 per il carico distribuito per la luce al quadrato: esattamente i 3/4 (75%) di 1/8 per il carico distribuito per la luce al quadrato, che si ha con l'appoggi singolo. la distanza non è doppia perchè metà luce graverà su un appoggio metà sull'altro.
Potrei però essermi sbagliato (non sarebbe la prima volta )...


Questo mi sembra quantomeno drastico, i materiali non sono completamente fragili, nè perfettamente indeformabili... Il cedimento provocherà uno stato di azione che eventualmente porterà la struttura a collasso (va anche detto che il vincolo non sarà perfetto ed è possibile che l'architrave non ceda perchè cede prima il paramento murario svincolandolo, no ).



Ma questi sono appunto criteri considerati validi oggi in relazione al loro stato di esercizio.

Per l'articolo apri il pdf e troverai queste poche righe:


Anche per questo ho aperto la discussione per approfondire.

Allora: premetto che ho riletto un paio di volte il tuo post prima di rispondere perché in tutta evidenza disponiamo di un lessico formalmente comune e sostanzialmente sovrapponibile solo in parte. Però credo di aver capito quello che dici e soprattutto cosa intende l’articolo di Tampone.


Il punto è che tu intendi “un quarto” ma in realtà aggiungi un tratto di architrave che in totale è pari alla metà! In questo caso il calcolo fornisce effettivamente il 25% (ma hai un trave e mezzo, non un trave e un quarto, quindi non è poco!!!
PS – Il calcolo si può fare su tutto il portale o solo su metà perché è simmetrico!

Ecco, in questo caso la questione lessicale è sostanziale (come prima del resto). Un incastro è un incastro, non esistono incastri “non perfetti”. Il punto è che tu intendi per incastro una cosa differente da ciò che si intende nella pratica della scienza delle costruzioni. Ad esempio il trave di Micene è chiaramente poggiato, non incastrato ed è per questo che funziona. Se così non fosse ci sarebbero due possibilità: o l’incastro cede (dunque non è più incastrato) oppure cede il muro (come prima, è un sinonimo) oppure si rompe l’architrave. Probabilmente tu hai la sensazione che allungando l’architrave all’interno del muro esso sia più “incastrato” dentro il muro e quindi meno sensibile agli eventuali cedimenti dei due puntoni. Il tal caso l’incastro non centra nulla (intendo quello della scienza delle costruzioni) si tratta di un accorgimento (non saprei se voluto o meno, credo di sì) che ricorda la ruota di scorta: se cede un puntone c’è un’altra possibilità di tenere su la struttura. Inoltre il trilite è meglio ancorato al muro

Allora… (ti assicuro che risponderti non è per nulla semplice…)
La progettazione a freccia o a rottura è “consapevolmente” utilizzata oggi, ma naturalmente usata (in modo più o meno consapevole) fin dal primo architrave! Pensa ad un architrave di legno dell’ingresso di una capanna: se lo fai sottile e quello flette senza rompersi, non per questo lo lasci così! Magari perché ci sbatti la testa quando passi (mi raccomando: si tratta di un esempio scherzoso, giusto per rendere l’idea). In questo caso l’architrave non si rompe, però non lasci così curvo! SI tratta di progettazione a freccia inconsapevole…
Riguardo la citazione di Tampone, non si riferisce agli architravi in generale ma ai triliti (cioè un portale), che sono un caso particolare. Nello specifico, l’osservazione sulla porta di Micene è del tutto fuori luogo, perché la sezione variabile dell’architrave (molto ispessita al centro) minimizza l’azione (eventuale) di contrappeso della parte sporgente. In questo caso (forse come pensi tu, se ho inteso bene il senso che dai a “incastrato”) il prolungamento stabilizza il portale ancorandolo meglio al muro.
Infine le tombe etrusche: valutato l'apporto del contrappeso (a spanne) l'azione mi pare irrilevante, soprattutto se la forma è quella che si vede nelle foto, così slanciata. Se fossero lapidei, si romperebbero; se di altro materiale (legno) ci sarebbe da scegliere tra rottura e flessione dei bracci.

Probabilmente non sarò stato bravo a spiegarmi finora, un po' per la fretta un po' per i ripensamenti nel corso della discussione, non credo che parliamo due lingue diverse perchè io capisco le tue obbiezioni e da queste deduco che non sono stato sufficientemente chiaro: cercherò con calma di rimediare.


Intanto rispondo a questo.
Sistema trilitico è qualunque sistema composto da due piedritti verticali e un elemento orizzontale, detto architrave, posto sopra, spero che questo sia condiviso da entrambi.
La porta di Micene lo è. Considerare quegli sbalzi funzionali a una riduzione del momento flettente in mezzeria è anche secondo me eccessivo come ho già avuto modo di dire ma non l'ho citato io come esempio, mi è sembrato doveroso dire che l'autore di un articolo che citavo lo considera un esempio, per dei motivi non spiegati dall'articolo stesso.

Provo a impostare nuovamente la discussione.
Si può dimostrare che il ricorso a prolungamenti oltre gli appoggi di un architrave riduce il momento flettente in mezzeria.

Questo, a mio avviso, in virtù di due possibili interpretazioni:

1) Schema di trave su due appoggi con una campata più due sbalzi. Questo schema secondo me è ben esemplificato da un dolmen.

2) schema di doppio incastro, questo schema secondo me si ha quando un architrave si inserisce in un paramento murario per una lunghezza non trascurabile. Se il muro non si deforma impedisce al tratto infinitesimo di architrave che si inserisce nel muro sia di ruotare sia di traslare nelle due direzioni ortogonali. questo vuol dire che la trave per me è lunga quanto la sua luce e presenta vincoli di incastro con il muro (ovvero no considero le lunghezze all'interno di esse, dico solo che la parte fuori dal muro presenta due incastri). Questo è l'incastro che intende la scienza delle costruzioni.

Oro provo a analizzare passo passo i due casi seguendo le tue correzioni.

Primo caso: Ipotizziamo di avere un sistema trilitico tipo dolmen, o di non considerare incastro il vincolo dell'architrave delle porte rappresentate nelle immagini postate. La trave su due appoggi ha due sbalzi di 1/4 (per lato, come mi pare di aver già detto chiaramente) della propria luce.
Ho fatto più sopra l'esempio di un quarto e di un quinto perchè mi sembrano compatibili con le lunghezze rappresentate nei portali etruschi.
L'analisi della sollecitazione si conduce sulla linea elastica, quindisi parla di momenti flettenti indipendentemente dalla sezione adottata (se non per il contributo che questa dà al carico considerato a causa del peso proprio).
Tampone dice che si riduce il momento flettente in mezzeria, dimostriamolo con l'esempio fatto: per via della simmetria grava su ciascun appoggio metà del carico distribuito ovvero la metà di q (carico) * (l (luce)+l/2 (somma dellelunghezze dei due sbalzi)) ==> la reazione vincolare di ogni appoggio è 3/4 ql.
Il momento valutato in mezzeria all'architrave è (considerando positivo quello dato dalla reazione vincolare e negativo quello dato dal carico) 3/4ql * l/2 (braccio della reazione vincolare) - 3/4 ql (carico agente) * 3/8 l (braccio del carico considerando esso concentrato nel baricentro dell'asta lunga metà della luce+lo sbalzo lungo un quarto della luce).
Risultato ho un momento in mezzeria di 3/32 ql².
Se avessi avuto semplicemente la stella luce ma senza sbalzi avrei un momento in mezzeria di 1/8 ql².
Di conseguenza con uno sbalzo di un quarto ho ridotto il momento in mezzeria del 25 % di quello che avrei senza sbalzi.
Se non ti piace come l'ho fatta io ho trovato anche l'esempio su un prontuario:
http://dsg.uniroma1.it/sylos/Trave%201%20c...20parte%202.pdf
Non penso di essermi sbagliato.

Secondo caso: diciamo che l'architrave è incastrato. Cosa significa? che nel piano della parete gli ho vincolato tutti i possibili spostamenti (traslazioni e rotazioni).

Nella scienza delle costruzioni l'ipotesi che esista un vincolo cedevole in modo non elastico è contemplata. Il principio dei lavori virtuali si applica anche al caso di vincolo cedevole e la rottura non è istantanea al cedimento, lo sarebbe solo se la trave fosse totalmente fragile ma questo è assurdo perchè altrimenti non potresti caricarla dovendosi spezzare alla minima deformazione.
Vorrei anche dire che non dobbiamo fare confusione tra la schematizzazione teorica e la realizzazione pratica, nella realtà per quanto ben fatti non sia possono avere incastri perfetti, cerniere perfette, eccetera, il livello di "aderenza" della realtà alla teoria dipende dalla capacità tecnica e dal tipo di materiali impiegati.
Altra cosa che vorrei dire è che se proviamo a visualizzare la deformata di una architrave di questo tipo credo che sia più compatibile con il caso di incastro che con quello di appoggio.

Infine provo a risponderti sulla progettazione a freccia. Ciò che intendevo dire io non è che la progettazione a freccia non fosse applicata inconsapevolmente. Io intendevo dire che pensare che limitassero le deformazioni come facciamo oggi è assolutamente sbagliato.
Te parli di deformazioni al limite dell'incompatibile con la resistenza stessa dei materiali, quando oggi ci sono casi in cui non accettiamo deformazioni di qualche millimetro. Ci sono cose che non andrebbero neanche precisate è per me totalmente ovvio che eccessive deformazioni per quanto non portassero a una immediata rottura non siano accettate, ma questo anche perchè, a mio avviso, proprio a livello psicologico sono incompatibili con la percezione istintiva di stabilità (spero di essermi spiegato ).

Volevo aggiungere due precisazioni che ritengo importanti per non essere nuovamente frainteso.
riguardo le immagini anche io credo che la mia stima iniziale di 1/4 di sbalzo possa essere eccessiva. Ritengo possibile dire che sia almeno 1/6 della luce, però così a occhio non me la cavo molto, tu a quanto avevi pensato?

La seconda cosa che intendevo precisare è che Tampone fa esplicitamente riferimento alla struttura trilitica, dunque non ritiene il vincolo un incastro ma un appoggio.
La possibilità che il comportamento reale sia più vicino a quello di un doppio incastro è una mia ipotesi, anche se sto ragionando sulle implicazioni e su ciò che mi hai detto.